EJERCICIO RESUELTO DE DIAGONALIZACIÓN

3- Calcular los valores propios reales λ y los subespacios fundamentales V (λ) para f ∈ End (R
) definido por f((x, y, z)) = (−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z).

Solución. Sabemos que los valores propios son las raíces del polinomio característico y este viene dado por el polinomio característico de cualquier matriz asociada a f. Empleando la notación por filas, si elegimos la matriz asociada a f respecto de la base canónica, ´esta viene dada por:

A =

(−1  −7    1)

(  0   4     0)

(−1  13   −3)

y el polinomio caracter´ıstico de esta matriz es
χA(x) =






x + 1 7 −1
0 x − 4 0
1 −13 x + 3






= (x − 4)(x + 2)2
.
Por tanto, los valores propios de f son 4 y -2.

Calculamos los subespacios fundamentales


V (4) = {(x, y, z) ∈ R
|f((x, y, z)) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|(−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|5x + z = 0, −7x + 13z = 0, x − 7z = 0}= {(0, y,0) ∈ R|y ∈ R}

V (−2) = {(x, y, z) ∈ R3

|f((x, y, z)) = −2(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|x − z = 0, −7x + 6y + 13z = 0}= {(x, −x, x)|x ∈ R}