EJERCICIO RESUELTO DE DIAGONALIZACIÓN

3- Calcular los valores propios reales λ y los subespacios fundamentales V (λ) para f ∈ End (R
) definido por f((x, y, z)) = (−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z).

Solución. Sabemos que los valores propios son las raíces del polinomio característico y este viene dado por el polinomio característico de cualquier matriz asociada a f. Empleando la notación por filas, si elegimos la matriz asociada a f respecto de la base canónica, ´esta viene dada por:

A =

(−1  −7    1)

(  0   4     0)

(−1  13   −3)

y el polinomio caracter´ıstico de esta matriz es
χA(x) =






x + 1 7 −1
0 x − 4 0
1 −13 x + 3






= (x − 4)(x + 2)2
.
Por tanto, los valores propios de f son 4 y -2.

Calculamos los subespacios fundamentales


V (4) = {(x, y, z) ∈ R
|f((x, y, z)) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|(−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|5x + z = 0, −7x + 13z = 0, x − 7z = 0}= {(0, y,0) ∈ R|y ∈ R}

V (−2) = {(x, y, z) ∈ R3

|f((x, y, z)) = −2(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3

|x − z = 0, −7x + 6y + 13z = 0}= {(x, −x, x)|x ∈ R}

INTRODUCCIÓN A LAS APLICACIONES LINEALES

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada
elemento de A, uno de B.


La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A B o bien
A B.

→
f→
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final.

Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B, diremos que b es la imagen
de a, lo que se denota por f(a) = b.

La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los
elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.

Clasificación de las aplicaciones:

• Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes
iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.

• Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del
conjunto final B han sido utilizados.

• Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una
aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada
elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.
Si f es biyectiva existe su inversa, denotada f –1: A→B , que “deshace” lo hecho por f.




VÍDEO RESUMEN DE APLICACIONES LINEALES

MATRICES

Aquí os dejo una pequeña introducción sobre las matrices y sus propiedades.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o
expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a_ij.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

PRESENTACIÓN

Este blog ha sido creado por Javier Ojanguren estudiante de Ingeniería de la Energía en la universidad Europea de Madrid. En él subiré entradas relacionadas con la asignatura de Álgebra.

Aqui os dejo un link de la web de la universidad:   Universidad Europea